Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=r cos theta y=r sen theta z=3+r cos theta.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
vec r(r,theta) = l(x,y,zr) = l(rcostheta,;rsintheta,;3+rcosthetar)
Precisamos calcular as derivadas parciais vec rr e vec rtheta, depois o produto vetorial vec rrtimesvec rtheta e sua norma |vec rrtimesvec rtheta|.

Passo 2

Para achar vec rr, derivamos componente a componente em relação a r:
vec rr = partialpartial rl(rcostheta,;rsintheta,;3+rcosthetar) = l(costheta,;sintheta,;costhetar)

Passo 3

Para achar vec rtheta, derivamos componente a componente em relação a theta:
vec rtheta = partialpartial thetal(rcostheta,;rsintheta,;3+rcosthetar) = l(-rsintheta,;rcostheta,;-rsinthetar)

Passo 4

Lembrando que, para vec a=(a1,a2,a3) e vec b=(b1,b2,b3),
vec atimesvec b = l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r),
aplicamos isso a vec rr e vec rtheta:
vec rrtimesvec rtheta = l(sinthetacdot(-rsintheta)-costhetacdot rcostheta,;dots,;dotsr) = (-r,;0,;r)

Passo 5

A norma de vec rrtimesvec rtheta é
|vec rrtimesvec rtheta| = raiz(-r)^2 + 0^2 + r^2 = raiz2,r^2 = rraiz2

Resposta

vec rr = (costheta,;sintheta,;costheta)
vec rtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;-rsintheta)
vec rrtimesvec rtheta = (-r,;0,;r)
|vec rrtimesvec rtheta| = rraiz2

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