Find Lsinh 2 t cos 2 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Lsinh(2t)cos(2t).
Para resolver usamos a definição da transformada de Laplace e a representação em termos de exponenciais de sinh e cos, aproveitando a linearidade.

Passo 2

Escrevemos cada função em termos de exponenciais:
sinh(2t) = e^2t-e^-2t2, cos(2t) = e^2i t+e^-2i t2

Passo 3

Multiplicando as duas expressões obtemos
sinh(2t)cos(2t) = 14l(e^2t-e^-2tr)l(e^2i t+e^-2i tr) = 14l(e^(2+2i)t+e^(2-2i)t-e^(-2+2i)t-e^(-2-2i)tr)

Passo 4

Usando que
Le^alpha t = 1s-alpha (Re(s)>Re(alpha)),
temos
Lsinh(2t)cos(2t) = 14l(1s-(2+2i) + 1s-(2-2i) - 1s-(-2+2i) - 1s-(-2-2i)r)

Passo 5

Agrupando termos conjugados e simplificando:
1s-(2+2i) + 1s-(2-2i) = 2(s-2)(s-2)^2+4,
1s-(-2+2i) + 1s-(-2-2i) = 2(s+2)(s+2)^2+4

Passo 6

Substituindo na expressão da transformada e fatorando 1/4:
Lsinh(2t)cos(2t) = 14l(2(s-2)(s-2)^2+4 - 2(s+2)(s+2)^2+4r) = 12l(s-2(s-2)^2+4 - s+2(s+2)^2+4r)

Resposta

boxed Lsinh(2t)cos(2t) = 12l(s-2(s-2)^2+4 ;-;s+2(s+2)^2+4r)

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