Show that Lsin ^5 t=120(s^2+1)(s^2+9)(s^2+25).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de sin^5 t. O conteúdo principal aqui é o uso de identidades trigonométricas para expressar sin^5 t como combinação linear de senos de múltiplos de t, e em seguida usar a linearidade da transformada de Laplace, sabendo que
Lsin(at)=as^2+a^2

Passo 2

Usamos a identidade de potência reduzida:
sin^5 t = 10sin t -5sin(3t)+sin(5t)16

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace de forma linear, obtemos
Lsin^5 t =116l(10,Lsin t-5,Lsin(3t)+Lsin(5t)r)
Como Lsin(at)=a/(s^2+a^2), segue
Lsin^5 t =116l(10cdot1s^2+1-5cdot3s^2+9+5s^2+25r) =116l(10s^2+1-15s^2+9+5s^2+25r)

Passo 4

Para escrever num único quociente, colocamos denominador comum (s^2+1)(s^2+9)(s^2+25). O numerador torna-se
10(s^2+9)(s^2+25)-15(s^2+1)(s^2+25)+5(s^2+1)(s^2+9)
Expandindo:
10(s^4+34s^2+225)-15(s^4+26s^2+25)+5(s^4+10s^2+9) =1920
Então
Lsin^5 t =192016,(s^2+1)(s^2+9)(s^2+25) =120(s^2+1)(s^2+9)(s^2+25)

Resposta

Lsin^5 t =120(s^2+1)(s^2+9)(s^2+25)

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