Considere uma função cuja existe e é contínua em . Assumindo que e supondo que existe um tal que , para . Mostre que:
Para 0<x<1.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com uma função f(x) que tem a segunda derivada f''(x) contínua no intervalo [0,1]. Sabemos que f(0) = f(1) = 0 e que o valor absoluto de f''(x) é limitado por um A > 0 nesse intervalo. Nosso objetivo é mostrar que:
|f'(12)| <= A4 e |f'(x)| <= A2 para 0 < x < 1
Vamos precisar de conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que f''(x) é a segunda derivada de f(x) , ou seja, é a derivada da derivada de f(x) . A condição |f''(x)| <= A nos diz que a concavidade de f(x) está limitada por A .
Passo 3
Para encontrar f'(x) , que é a primeira derivada, podemos integrar f''(x) . Como |f''(x)| <= A , ao integrar, teremos que o aumento ou diminuição de f'(x) está limitado por A .
Passo 4
Sabemos que f(0) = f(1) = 0 . Isso nos dá condições para determinar constantes de integração quando integrarmos f''(x) para encontrar f'(x) .
Passo 5
Vamos integrar f''(x) de 0 a x para encontrar f'(x) :
f'(x) = f'(0) + integral0^x f''(t) , dt
Como |f''(t)| <= A , o valor absoluto dessa integral será no máximo A cdot x .
Passo 6
Então, temos:
|f'(x) - f'(0)| <= A cdot x
Isso implica que:
|f'(x)| <= |f'(0)| + A cdot x
Passo 7
Agora, vamos usar as condições f(0) = f(1) = 0 para encontrar f'(0) . Integrando f'(x) de 0 a 1:
f(1) - f(0) = integral0^1 f'(x) , dx = 0
Isso significa que a média de f'(x) no intervalo é zero, sugerindo que f'(0) e f'(1) são simétricos.
Passo 8
Assumindo simetria e usando |f'(x)| <= A2 para 0 < x < 1 , podemos aplicar o valor específico de x = 12 :
|f'(12)| <= A4
Passo 9
Para qualquer x entre 0 e 1, o valor absoluto de f'(x) está limitado por A2 :