Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=3 sen phi cos theta y=3 sen phi sen theta z=3 cos phi.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de uma esfera de raio 3 em função dos parâmetros phi e theta:
x=3sinphicostheta, y=3sinphisintheta, z=3cosphi
Precisamos calcular as derivadas parciais vec rphi e vec rtheta, depois o produto vetorial vec rphitimesvec rtheta e, por fim, o módulo l|vec rphitimesvec rthetar|. Vamos usar regra de derivação de cada componente e a definição de produto vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Calcular vec rphi = partialpartialphi(x,y,z). As derivadas são:
partial xpartialphi =3cosphicostheta, partial ypartialphi =3cosphisintheta, partial zpartialphi =-3sinphi
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vec rphi =l(3cosphicostheta,;3cosphisintheta,;-3sinphir)

Passo 3

Calcular vec rtheta = partialpartialtheta(x,y,z). As derivadas são:
partial xpartialtheta =-3sinphisintheta, partial ypartialtheta =3sinphicostheta, partial zpartialtheta =0
Portanto
vec rtheta =l(-3sinphisintheta,;3sinphicostheta,;0r)

Passo 4

Agora o produto vetorial
vec rphi times vec rtheta = i & j & k [6pt] 3cosphicostheta & 3cosphisintheta & -3sinphi [3pt] -3sinphisintheta & 3sinphicostheta & 0
Calculando cada componente chega-se a
vec rphi times vec rtheta = l(9sin^2phicostheta,;9sin^2phisintheta,;9sinphicosphir) = 9sinphil(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir) ]

Passo 5

O módulo desse vetor é
l|vec rphitimesvec rthetar| =9sinphi, raizsin^2phi,(cos^2theta+sin^2theta)+cos^2phi =9sinphi

Resposta

vec rphi=l(3cosphicostheta,;3cosphisintheta,;-3sinphir),
vec rtheta=l(-3sinphisintheta,;3sinphicostheta,;0r),
vec rphitimesvec rtheta =9sinphil(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir),
l|vec rphitimesvec rthetar|=9sinphi

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