Suppose that is unbounded as . Prove that exists if the following conditions are satisfied:
(a) is sectionally continuous in any interval where ,
(b) for some constant such that ,
(c) is of exponential order for .
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a transformada de Laplace
existe, mesmo que quando , sob as hipóteses:
é seccionalmente contínua em cada intervalo com .
Existe tal que .
é de ordem exponencial para , ou seja, existem e tais que para .
Para provar a convergência da integral imprópria, vamos dividir
escolhendo .
Passo 2
Convergência em .
Da hipótese (b) temos . Logo existe e tais que para vale
Convergência em [de<a,N].
Aqui de<a>0, e por (a) F é seccionalmente contínua em [de<a,N]. Uma função seccionalmente contínua em um intervalo finito é limitada e integrável. Logo
integralde<a^NF(t)e^-s t,dt
existe para qualquer s>=0.
Passo 4
Convergência em [N,infty).
Pela hipótese (c), para t>N vale lvert F(t)rvert<= M e^gamma t. Se escolhermos s>gamma, então
lvert F(t)e^-s trvert <= M e^gamma te^-s t = M e^-(s-gamma)t