Suppose that F(t) is unbounded as t 0. Prove that LF(t) exists if the following conditions are satisfied:
(a) F(t) is sectionally continuous in any interval N1 <=q t <=q N where N1>0,
(b) lim t 0 t^n F(t)=0 for some constant n such that 0<n<1,
(c) F(t) is of exponential order gamma for t>N.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a transformada de Laplace
LF(t)(s)=integral0^inftyF(t)e^-s t,dt
existe, mesmo que F(t)toinfty quando tto0, sob as hipóteses:
  1. F é seccionalmente contínua em cada intervalo [N1,N] com N1>0.
  2. Existe nin(0,1) tal que limtto0t^nF(t)=0.
  3. F é de ordem exponencial gamma para t>N, ou seja, existem M>0 e gamma tais que lvert F(t)rvert<= M e^gamma t para t>N.
Para provar a convergência da integral imprópria, vamos dividir
integral0^inftyF(t)e^-st,dt =integral0^de<a(cdots)+integralde<a^N(cdots)+integralN^infty(cdots),
escolhendo 0<de<a<N1.

Passo 2

Convergência em [0,de<a].
Da hipótese (b) temos limtto0t^nF(t)=0. Logo existe t0in(0,de<a) e K>0 tais que para 0<t<t0 vale
lvert t^nF(t)rvert<= K Longrightarrow lvert F(t)rvert<= K,t^-n
Para s>0 fixo, então
lvertintegral0^t0F(t)e^-s t,dtrvert <=integral0^t0lvert F(t)rvert e^-s t,dt <= Kintegral0^t0t^-n,dt
Como n<1, o p-integral converge:
integral0^t0t^-n,dt =[t^1-n1-n]0^t0 =t0^1-n1-n<infty
Portanto integral0^de<aF(t)e^-s t,dt existe.

Passo 3

Convergência em [de<a,N].
Aqui de<a>0, e por (a) F é seccionalmente contínua em [de<a,N]. Uma função seccionalmente contínua em um intervalo finito é limitada e integrável. Logo
integralde<a^NF(t)e^-s t,dt
existe para qualquer s>=0.

Passo 4

Convergência em [N,infty).
Pela hipótese (c), para t>N vale lvert F(t)rvert<= M e^gamma t. Se escolhermos s>gamma, então
lvert F(t)e^-s trvert <= M e^gamma te^-s t = M e^-(s-gamma)t
Como s-gamma>0, sabemos que
integralN^inftye^-(s-gamma)t,dt =e^-(s-gamma)Ns-gamma<infty
Logo
integralN^inftyF(t)e^-s t,dt
converge absolutamente para todo s>gamma.

Resposta

Portanto, tomando qualquer s>gamma, as três integrais
integral0^de<aF(t)e^-s t,dt, integralde<a^NF(t)e^-s t,dt, integralN^inftyF(t)e^-s t,dt
convergem. Assim a transformada de Laplace LF(t)(s) existe para s>gamma.

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