Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=rho raiz2 cos theta2 y=rho raiz2 sen theta2 z=rho raiz2^22.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de uma superfície em termos dos parâmetros rho e theta:
x=rhoraiz2costheta2, y=rhoraiz2sintheta2, z=rhoraiz2^22=rho
O que precisamos é:
  1. Escrever o vetor posição vec r(rho,theta).
  2. Calcular as derivadas parciais vec rrho e vec rtheta.
  3. Fazer o produto vetorial vec rrhotimesvec rtheta.
  4. Determinar o módulo l|vec rrhotimesvec rthetar|.

Passo 2

O vetor posição é
vec r(rho,theta) =l(rhoraiz2costheta2,,rhoraiz2sintheta2,,rhor)

Passo 3

Derivando em relação a rho:
vec rrho =(partialpartial rhorhoraiz2costheta2,, partialpartial rhorhoraiz2sintheta2,, partialpartial rhorho) =l(tfracraiz22costheta,;tfracraiz22sintheta,;1r)

Passo 4

Derivando em relação a theta:
vec rtheta =(partialpartial thetarhoraiz2costheta2,, partialpartial thetarhoraiz2sintheta2,, partialpartial thetarho) =l(-tfracrhoraiz22sintheta,;tfracrhoraiz22costheta,;0r)

Passo 5

Agora o produto vetorial. Com
a=tfracraiz22,
vec rrho=(acostheta,;asintheta,;1)
e
vec rtheta=(-arhosintheta,;arhocostheta,;0), obtemos
vec rrhotimesvec rtheta =l(-arhocostheta,;-arhosintheta,;a^2rhor) =l(-tfracrhoraiz22costheta,;-tfracrhoraiz22sintheta,;tfracrho2r)

Passo 6

O módulo deste vetor é
l|vec rrhotimesvec rthetar| =raizl(tfracrhoraiz22r)^2(cos^2theta+sin^2theta) +l(tfracrho2r)^2 =rhoraiztfrac12+tfrac14 =rhoraiz32

Resposta

vec rrho=l(tfracraiz22costheta,;tfracraiz22sintheta,;1r)
vec rtheta=l(-tfracrhoraiz22sintheta,;tfracrhoraiz22costheta,;0r)
vec rrhotimesvec rtheta =l(-tfracrhoraiz22costheta,;-tfracrhoraiz22sintheta,;tfracrho2r)
l|vec rrhotimesvec rthetar| =rhoraiz32

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