Em cada item, parametrize a superfície, calcule vecru times vecrv (ou equivalente no caso de parâmetros diferentes de u e v ) e explique o sentido dos vetores vecru times vecrv e vecrv times vecru. Sugestão. Use as parametrizações já feitas nos exercícios P2. P3. e P4. e os vetores já calculados no exercício P5.
Plano que contém o ponto (2,-1,1) e é paralelo aos vetores (1,-1,0) e (0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o plano que passa por (2,-1,1) e é paralelo aos vetores (1,-1,0) e (0,1,-1), calcular os vetores normais via produto vetorial das derivadas parciais e discutir o sentido de ru times rv vs. rv times ru. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies planas e uso do produto vetorial para obter normais.

Passo 2

Escolhemos parâmetros u,vin R e tomamos como vetor posição
vec r(u,v)=l(2,-1,1r)+u,(1,-1,0)+v,(0,1,-1)
Isso garante que vec r(0,0)=(2,-1,1) e que as direções do plano são dadas pelos vetores fixos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em relação a u e v:
vec ru=partialvec rpartial u=(1,-1,0), vec rv=partialvec rpartial v=(0,1,-1)

Passo 4

Agora o produto vetorial
vec rutimesvec rv = i & j & k 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 =(1cdot(-1)-0cdot1),i-l(1cdot(-1)-0cdot0r),j+(1cdot1-(-1)cdot0),k =(1,1,1)

Passo 5

Invertendo a ordem,
vec rvtimesvec ru =-(vec rutimesvec rv)=(-1,-1,-1)

Passo 6

O vetor vec rutimesvec rv é uma normal ao plano apontando segundo a regra da mão direita vista do eixo formado por vec ru para vec rv. Já vec rvtimesvec ru aponta na direção oposta, invertendo esse sentido.

Resposta

A parametrização é
vec r(u,v)=(2,-1,1)+u(1,-1,0)+v(0,1,-1)
As normais são
vec rutimesvec rv=(1,1,1), vec rvtimesvec ru=(-1,-1,-1),
onde o primeiro segue a orientação dada por vec ru para vec rv (regra da mão direita) e o segundo é o contrário.

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