Let
Prove that
LF(t)=-dd s[e^-s LG(t+1)] .
Passo 1
O enunciado dá a derivada
e pede para mostrar que
O conteúdo principal aqui é usar a definição da transformada de Laplace em uma função “com mudança de variável” (teorema do 1º deslocamento) e a propriedade
Lt,f(t)=-ddsLf(t) ,
além da relação
LF'(t)=s,LF(t)-F(0) .
além da relação
Passo 2
Calculemos primeiro
LF'(t) .
Pela definição,
Pela definição,
pois para
0<t<1 ,
F'(t)=0 .
Passo 3
Faça a mudança de variável
u=t-1 .
Quandot vai de
1 a
infty ,
u vai de
0 a
infty , e
t=u+1 .
Quando
Reconhecemos aí
Logo
Passo 4
Separe
(t+1),G(t+1)=t,G(t+1)+G(t+1) e use
Lt,f(t)=-tfracddsLf(t) .
Portanto
Passo 5
Reescreva o resultado como derivada de produto:
Logo obtivemos
Passo 6
Finalmente, use a relação
LF'(t)=s,LF(t)-F(0) .
ComoF'(t)=0 em
(0,1) e presumimos
F(0)=0 , temos
Como
Dividindo por
s chegamos a
Em muitos enunciados assume-se
s=1 ou faz-se um ajuste de notação, de modo que se escreve simplesmente
conforme pedido.