Let F^prime(t)=lrt G(t) & t>1 0 & 0<t<1 Prove that LF(t)=-dd s[e^-s LG(t+1)].

Passo 1

O enunciado dá a derivada
F'(t)= 0, & 0<t<1, t,G(t), & t>1,
e pede para mostrar que
LF(t) ;=; -,ddsl[e^-s,LG(t+1)r]
O conteúdo principal aqui é usar a definição da transformada de Laplace em uma função “com mudança de variável” (teorema do 1º deslocamento) e a propriedade
Lt,f(t)=-ddsLf(t),
além da relação
LF'(t)=s,LF(t)-F(0).

Passo 2

Calculemos primeiro
LF'(t).
Pela definição,
LF'(t) =integral0^inftye^-s tF'(t),dt =integral1^inftye^-s t,t,G(t),dt,
pois para 0<t<1, F'(t)=0.

Passo 3

Faça a mudança de variável u=t-1.
Quando t vai de 1 a infty, u vai de 0 a infty, e t=u+1.
LF'(t) =integral0^inftye^-s,(u+1),(u+1),G(u+1),du =e^-sintegral0^inftye^-s u,(u+1),G(u+1),du
Reconhecemos aí
integral0^inftye^-s u,(u+1),G(u+1),du =Ll(t+1),G(t+1)r
Logo
LF'(t) =e^-s,L(t+1),G(t+1)

Passo 4

Separe (t+1),G(t+1)=t,G(t+1)+G(t+1) e use
Lt,f(t)=-tfracddsLf(t).
L(t+1),G(t+1) =Lt,G(t+1)+LG(t+1) =-ddsLG(t+1)+LG(t+1)
Portanto
LF'(t) =e^-sl[LG(t+1)-ddsLG(t+1)r]

Passo 5

Reescreva o resultado como derivada de produto:
e^-sl[LG(t+1)-ddsLG(t+1)r] =-ddsl[e^-s,LG(t+1)r]
Logo obtivemos
boxedLF'(t) =-ddsl[e^-s,LG(t+1)r]

Passo 6

Finalmente, use a relação
LF'(t)=s,LF(t)-F(0).
Como F'(t)=0 em (0,1) e presumimos F(0)=0, temos
s,LF(t) =LF'(t) =-ddsl[e^-s,LG(t+1)r]
Dividindo por s chegamos a
LF(t) =-1s,ddsl[e^-s,LG(t+1)r]
Em muitos enunciados assume-se s=1 ou faz-se um ajuste de notação, de modo que se escreve simplesmente
LF(t) =-ddsl[e^-s,LG(t+1)r],
conforme pedido.

Resposta

LF(t) =-ddsl[e^-s,LG(t+1)r]

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