Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=u y=v z=6-3 u-2 v.

Passo 1

O enunciado nos dá uma parametrização de superfície
vec r(u,v) = (x,y,z) = l(u,;v,;6 - 3u - 2vr)
e pede os vetores tangentes vec ru e vec rv, seu produto vetorial vec rutimes vec rv e o comprimento |vec rutimes vec rv|. O conteúdo aqui é derivada parcial de campos vetoriais e cálculo de produto vetorial.

Passo 2

Calculamos vec ru = dfracpartialvec rpartial u derivando cada componente de vec r(u,v) em relação a u:
vec ru = l(tfracpartial xpartial u,;tfracpartial ypartial u,;tfracpartial zpartial ur) = l(1,;0,;-3r)

Passo 3

Calculamos vec rv = dfracpartialvec rpartial v derivando cada componente de vec r(u,v) em relação a v:
vec rv = l(tfracpartial xpartial v,;tfracpartial ypartial v,;tfracpartial zpartial vr) = l(0,;1,;-2r)

Passo 4

Para o produto vetorial usamos
vec rutimes vec rv = i & j & k 1 & 0 & -3 0 & 1 & -2 = i(0cdot(-2)-(-3)cdot1) - j(1cdot(-2)-(-3)cdot0) + k(1cdot1-0cdot0)
Isso dá
vec rutimes vec rv = (3,;2,;1)

Passo 5

O comprimento do vetor vec rutimes vec rv é
|vec rutimes vec rv| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14

Resposta

vec ru=(1,0,-3), vec rv=(0,1,-2), vec rutimes vec rv=(3,2,1), |vec rutimes vec rv|=raiz14

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