Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=r cos theta y=r sen theta z=3.

Passo 1

Temos a superfície parametrizada por
vec r(r,theta)=l(rcostheta,;rsentheta,;3r),
onde os parâmetros são r e theta. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de uma parametrização de superfície, o produto vetorial dessas derivadas e a norma desse produto, que dá o fator de área elementar.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação a r:
vec rr=partialpartial rl(rcostheta,;rsentheta,;3r) =(costheta,;sentheta,;0)

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a theta:
vec rtheta =partialpartial thetal(rcostheta,;rsentheta,;3r) =l(-rsentheta,;rcostheta,;0r)

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial vec rrtimesvec rtheta.
Usando a definição,
vec rrtimesvec rtheta =det i&j&k costheta&sentheta&0 -,rsentheta&rcostheta&0 =(0,0,;r(cos^2theta+sen^2theta)) =(0,0,r)

Passo 5

A norma desse vetor é
l|vec rrtimesvec rthetar| =l|(0,0,r)r| =lvert rrvert
Como geralmente adotamos r>=0, fica |vec rrtimesvec rtheta|=r.

Resposta

vec rr=(costheta,sentheta,0), vec rtheta=(-rsentheta,rcostheta,0), vec rrtimesvec rtheta=(0,0,r), |vec rrtimesvec rtheta|=r

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