Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do plano x=y que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da reta-plano x=y que fica dentro da esfera de raio 4,
x^2+y^2+z^2=16,
usando coordenadas esféricas. Vamos usar rho,varphi,theta com
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi

Passo 2

No plano x=y temos
rhosinvarphicostheta ;=;rhosinvarphisintheta Longrightarrow costheta=sintheta Longrightarrow theta=pi4 (ou 5pi/4)
Escolhendo a “folha” theta=pi/4, a superfície fica toda descrita por fixar esse theta.

Passo 3

Como estamos dentro da esfera de raio 4, rho varia de 0 a 4, e varphi de 0 a pi (para cobrir tanto z>=0 quanto z<=0). Assim a parametrização é
r(rho,varphi) =l(rhosinvarphicostfracpi4,;rhosinvarphisintfracpi4,;rhocosvarphir),
com
0<=rho<=4, 0<=varphi<=pi, theta=tfracpi4

Resposta

boxed r(rho,varphi) =l(tfracrhosinvarphiraiz2,;tfracrhosinvarphiraiz2,;rhocosvarphir), 0<=rho<=4,;0<=varphi<=pi

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