Em cada item, calcule ru, rv, ru times rv e |ru times rv| (ou seus correspondentes em itens nos quais os parâmetros não são u e v ).
lx=u y=v z=1+3 u+3 v^2.

Passo 1

O enunciado define uma superfície dada pelo parâmetro (u,v) via
x=u,;y=v,;z=1+3u+3v^2.
O que precisamos é:
  1. vec ru e vec rv (vetores tangentes),
  2. vec rutimesvec rv (vetor normal),
  3. |vec rutimesvec rv| (módulo do normal).

Passo 2

Escrevendo a função vetor
vec r(u,v)=llang<= u,;v,;1+3u+3v^2rrang<=,
para obter vec ru derivamos cada componente em relação a u e para vec rv em relação a v.

Passo 3

Derivando componente a componente, vem
vec ru=llang<= 1,;0,;3rrang<=, vec rv=llang<= 0,;1,;6vrrang<=

Passo 4

O produto vetorial é dado pelo determinante
vec rutimesvec rv = i & j & k 1 & 0 & 3 0 & 1 & 6v =llang<= -3,,-6v,;1rrang<=

Passo 5

Por fim, a norma desse vetor é
l|vec rutimesvec rvr| =raiz(-3)^2+(-6v)^2+1^2 =raiz9+36v^2+1 =raiz10+36v^2

Resposta

vec ru=lang<=1,0,3rang<=,
vec rv=lang<=0,1,6vrang<=,
vec rutimesvec rv=lang<=-3,-6v,1rang<=,
|vec rutimesvec rv|=raiz10+36v^2

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