Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte esfera x^2+y^2+z^2=9 que está entre os planos y=0 e y=x e que está no octante x >= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 1

Vamos parametrizar a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 que está entre os planos y=0 e y=x e fica no octante x>=0, y>=0, z>=0. Para isso, usaremos coordenadas esféricas, onde a superfície corresponde a rho=3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi

Passo 3

Como estamos na esfera de raio 3, fixamos rho=3.
Para z>=0 temos phiin[0,tfracpi2].
No plano xy, o octante x>=0,y>=0 thetain[0,tfracpi2].
Além disso, a região fica entre os planos theta=0 (que é y=0) e theta=tfracpi4 (que é y=x). Logo
thetainl[0,tfracpi4r]

Passo 4

Substituindo rho=3 e os domínios de phi e theta, obtemos a parametrização
r(phi,theta) =l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com
0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=tfracpi4

Resposta

r(phi,theta) =l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir), phiinl[0,tfracpi2r],; thetainl[0,tfracpi4r]

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