Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=|x+2|, y=0, x=-3, x=0

Passo 1

A rotação em torno do eixo x de uma região entre y=0 e y=f(x) gera um sólido cujo volume se obtém pelo método dos discos:
V = pi integrala^b l[f(x)r]^2 ,dx
Aqui temos f(x)=|x+2| no intervalo xin[-3,0].

Passo 2

Como |x+2| é função linear por partes, separamos o intervalo em duas partes:
Para -3<= x<= -2 vale
|x+2| = -(x+2),
e para -2<= x<= 0 vale
|x+2| = x+2
Então
V = pi integral-3^0 l|x+2r|^2 ,dx = pigl(integral-3^-2[-(x+2)]^2dx ;+;integral-2^0(x+2)^2dxgr)

Passo 3

Calculamos cada integral usando integral (x+2)^2dx = (x+2)^33.
Para integral-3^-2[-(x+2)]^2dx = integral-3^-2(x+2)^2dx:
integral-3^-2(x+2)^2dx = [(x+2)^33]x=-3^x=-2 = 0^33 - (-1)^33 = 0 - l(-13r) = 13
Para integral-2^0(x+2)^2dx:
integral-2^0(x+2)^2dx = [(x+2)^33]x=-2^x=0 = 2^33 - 0 = 83

Passo 4

Somando as duas integrais e multiplicando por pi:
V = pil(tfrac13 + tfrac83r) = picdot 3 = 3pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 3pi.

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