Em cada item, calcule o gradiente de f.
f(x, y, z)=2-4 ln (x^2+y^2+z^2)-x^2 y^2 e^x y z+2 z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de
f(x,y,z)=2-4lnl(x^2+y^2+z^2r)-x^2y^2e^xyz+2z
O gradiente é o vetor das derivadas parciais
nabla f = l(partial f/partial x,;partial f/partial y,;partial f/partial zr).
Para cada parcial vamos usar a regra da cadeia (no termo com ln), e a regra do produto e da cadeia (no termo com x^2y^2e^xyz).

Passo 2

Cálculo de partial f/partial x:
  • Derivada de 2 é 0.
  • Derivada de -4ln(x^2+y^2+z^2): -4cdot1x^2+y^2+z^2cdot 2x =-8xx^2+y^2+z^2
  • Derivada de -x^2y^2e^xyz: seja U=x^2y^2 e V=e^xyz. partialpartial x(-UV) =-l(Ux,V + U,Vxr) =-l(2xy^2,e^xyz + x^2y^2cdot yz,e^xyzr)
  • Derivada de 2z em relação a x é 0.
    Juntando tudo,
partial fpartial x =-8xx^2+y^2+z^2 -l(2xy^2 + x^2y^2z,yr)e^xyz =-8xx^2+y^2+z^2 -l(2xy^2 + x^2y^3zr)e^xyz

Passo 3

Cálculo de partial f/partial y:
  • Derivada de -4ln(x^2+y^2+z^2): -4cdot1x^2+y^2+z^2cdot 2y =-8yx^2+y^2+z^2
  • Para -x^2y^2e^xyz, agora U=x^2y^2 Uy=2x^2y e V=e^xyz Vy=xz,e^xyz. Assim, partialpartial y(-UV) =-l(2x^2y,e^xyz + x^2y^2cdot xz,e^xyzr) =-l(2x^2y + x^3y^2zr)e^xyz
  • Derivada de 2z em relação a y é 0.
    Portanto,
partial fpartial y =-8yx^2+y^2+z^2 -l(2x^2y + x^3y^2zr)e^xyz

Passo 4

Cálculo de partial f/partial z:
  • Derivada de -4ln(x^2+y^2+z^2): -4cdot1x^2+y^2+z^2cdot 2z =-8zx^2+y^2+z^2
  • Para -x^2y^2e^xyz, U=x^2y^2 é constante em z (derivada zero) e
    V=e^xyz Vz=xy,e^xyz. Então partialpartial z(-UV) =-x^2y^2cdot xy,e^xyz =-x^3y^3e^xyz
  • Derivada de 2z é 2.
    Somando,
partial fpartial z =-8zx^2+y^2+z^2 -x^3y^3e^xyz +2

Resposta

nabla f(x,y,z) =gl( -8xx^2+y^2+z^2 -l(2xy^2 + x^2y^3zr)e^xyz,, -8yx^2+y^2+z^2 -l(2x^2y + x^3y^2zr)e^xyz,, -8zx^2+y^2+z^2 -x^3y^3e^xyz +2 gr)

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