- Mostre que a equação
admite uma solução no intervalo
. Verifique graficamente que esta solução é única. Calcule um valor aproximado desta solução, com precisão até a quarta casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
admite ao menos uma solução em
, verificar que essa solução é única e encontrar uma aproximação numérica com precisão até a quarta casa decimal. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, análise de monotonicidade (derivada) e o Método de Newton para a aproximação.
Passo 2
Definimos a função
Essa função é contínua em
porque
e
são contínuas. Avaliando nos extremos do intervalo, temos
Como
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Portanto há pelo menos uma solução de
nesse intervalo.
Passo 3
Para ver que a solução é única, analisamos a derivada:
No intervalo
temos
, logo
. Isso implica que
é estritamente decrescente e só pode ter uma raiz. Graficamente, a curva
decresce de 1 a 0 em
e a reta
cresce de 0 a
, havendo exatamente um ponto de interseção.
Passo 4
Para aproximar numericamente a raiz, aplicamos o Método de Newton à função
. A iteração é
Tomando
, calculamos
e as correções já ficam abaixo de
. Portanto, a solução aproximada até a quarta casa decimal é