1. Mostre que a equação cos x=x admite uma solução no intervalo [0, pi2]. Verifique graficamente que esta solução é única. Calcule um valor aproximado desta solução, com precisão até a quarta casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação cos x = x admite ao menos uma solução em [0,pi2], verificar que essa solução é única e encontrar uma aproximação numérica com precisão até a quarta casa decimal. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, análise de monotonicidade (derivada) e o Método de Newton para a aproximação.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=cos x - x
Essa função é contínua em [0,pi2] porque cos x e x são contínuas. Avaliando nos extremos do intervalo, temos
f(0)=cos 0 - 0 = 1 > 0,
fl(tfracpi2r)=cos!l(tfracpi2r) - tfracpi2 = -tfracpi2 < 0
Como f(0) e f(tfracpi2) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe xiinl(0,tfracpi2r) tal que f(xi)=0. Portanto há pelo menos uma solução de cos x = x nesse intervalo.

Passo 3

Para ver que a solução é única, analisamos a derivada:
f'(x) = -sin x - 1
No intervalo [0,pi2] temos sin x>=0, logo f'(x)<0. Isso implica que f é estritamente decrescente e só pode ter uma raiz. Graficamente, a curva y=cos x decresce de 1 a 0 em [0,tfracpi2] e a reta y=x cresce de 0 a tfracpi2, havendo exatamente um ponto de interseção.

Passo 4

Para aproximar numericamente a raiz, aplicamos o Método de Newton à função f. A iteração é
xn+1 = xn ;-;f(xn)f'(xn) = xn ;-;cos xn - xn-sin xn - 1
Tomando x0 = 0,7, calculamos
x1 approx 0,73944, x2 approx 0,73921, x3 approx 0,73910,
e as correções já ficam abaixo de 10^-4. Portanto, a solução aproximada até a quarta casa decimal é
x approx 0,7391

Resposta

xapprox0,7391

Exercícios relacionados