Demonstre que se
& p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0, e & q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+cdots+b1 x+b0,
sendo a0, ldots, an, b0, ldots, bn números reais com an neq 0 e bm neq 0, então
lim x pm infty p(x)q(x)=lim x pm infty an x^nbm x^m

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois polinômios
p(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a0, q(x)=bmx^m+bm-1x^m-1+cdots+b0,
com anneq0 e bmneq0. Queremos mostrar que
limxtopminftyp(x)q(x) = limxtopminftyanx^nbmx^m
Iremos usar regras de limites (produto, quociente e soma) e o fato de que, se k<n, então limxtopminftyx^k-n=0.

Passo 2

Fatoramos do numerador e do denominador os termos de maior grau:
p(x)q(x) = anx^nl(1+an-1anx^-1+cdots+a0anx^-nr) bmx^ml(1+bm-1bmx^-1+cdots+b0bmx^-mr)
Reagrupando, obtemos
p(x)q(x) = anx^nbmx^m ;times; 1+sumk=1^nan-kanx^-k 1+sumell=1^mbm-ellbmx^-ell

Passo 3

Analisamos agora as duas razões auxiliares quando xtopminfty. Para cada k>=1 com k<= n,
limxtopminftyx^-k=0,
portanto
limxtopminftyl(1+sumk=1^ntfracan-kanx^-kr)=1
De modo análogo,
limxtopminftyl(1+sumell=1^mtfracbm-ellbmx^-ellr)=1

Passo 4

Pelas regras de limites de produto e quociente, e sabendo que o limite do segundo fator é tfrac11=1, concluímos que
limxtopminftyp(x)q(x) = limxtopminftyanx^nbmx^m ;times;1 = limxtopminftyanx^nbmx^m

Resposta

boxed limxtopminftyp(x)q(x) = limxtopminftyanx^nbmx^m

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