Em cada item, calcule a integral
e
e verifique que o resultado é o mesmo. Observação.
e
são os pontos final e inicial da curva
, respectivamente.
e
é a curva
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, calculando
e comparando com
,
onde e
é a curva parametrizada por
,
.
e comparando com
onde
Passo 2
Primeiro, encontramos o gradiente de
. Como
temos
logo
Passo 3
Substituímos a parametrização em
e obtemos
:
Assim
e o produto escalar é
Desenvolvendo e usando
, chega-se a
Passo 4
Agora calculamos a integral de
a
:
Em
isso vale
e em
vale
Portanto
Passo 5
Calculamos
nos pontos inicial e final:
Logo
Observamos que coincide com a integral de
.