Em cada item, calcule a integral \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r} e f\left(P_{f}\right)-f\left(P_{i}\right) e verifique que o resultado é o mesmo. Observação. P_{f} e P_{i} são os pontos final e inicial da curva C, respectivamente.
f(x, y)=x y+x+y e C é a curva \vec{r}(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, calculando
\displaystyle \int_{C}\nabla f\cdot d\vec r
e comparando com
\displaystyle f(P_{f})-f(P_{i}),
onde f(x,y)=xy+x+y e C é a curva parametrizada por
\displaystyle \vec r(t)=(2\cos t,\,2\sin t), 0\le t\le\pi.

Passo 2

Primeiro, encontramos o gradiente de f. Como
f(x,y)=xy+x+y,
temos
\frac{\partial f}{\partial x}=y+1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+1,
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\nabla f(x,y)=(y+1,\;x+1).

Passo 3

Substituímos a parametrização em \nabla f e obtemos \vec r'(t):
\vec r(t)=(2\cos t,\,2\sin t) \quad\Longrightarrow\quad \vec r'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t).
Assim
\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr) =(2\sin t+1,\;2\cos t+1),
e o produto escalar é
\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r'(t) =(2\sin t+1)(-2\sin t)+(2\cos t+1)(2\cos t).
Desenvolvendo e usando \cos^2t-\sin^2t=\cos2t, chega-se a
\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r'(t) =4\cos2t-2\sin t+2\cos t.

Passo 4

Agora calculamos a integral de t=0 a t=\pi:
\int_{0}^{\pi}\bigl(4\cos2t-2\sin t+2\cos t\bigr)\,dt =\Bigl[2\sin2t+2\cos t+2\sin t\Bigr]_{0}^{\pi}.
Em t=\pi isso vale
2\sin2\pi+2\cos\pi+2\sin\pi=0+2(-1)+0=-2,
e em t=0 vale
2\sin0+2\cos0+2\sin0=0+2+0=2.
Portanto
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r=(-2)-2=-4.

Passo 5

Calculamos f nos pontos inicial e final:
P_{i}=\vec r(0)=(2,0) \quad\Longrightarrow\quad f(2,0)=2\cdot0+2+0=2,
P_{f}=\vec r(\pi)=(-2,0) \quad\Longrightarrow\quad f(-2,0)=(-2)\cdot0-2+0=-2.
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f(P_{f})-f(P_{i})=-2-2=-4.
Observamos que coincide com a integral de \nabla f.

Resposta

\displaystyle \int_{C}\nabla f\cdot d\vec r=-4
\displaystyle f(P_{f})-f(P_{i})=-4

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