• Questão 2 : (2 pontos) Mostre que os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}. Para ambos, exiba uma base e determine sua dimensão.
    b) S=\{(x, y, z) ; x+2 y=0 e z=0\}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y=0 \text{ e } z=0\}.
O conteúdo é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, e precisamos exibir uma base de S e determinar sua dimensão.

Passo 2

Para mostrar que S\) é subespaço, note que ele é o conjunto de soluções do sistema homogêneo \[\begin{cases} x+2y=0,\\\ z=0. \end{cases}
O vetor nulo ((0,0,0)] satisfaz essas equações, e equações lineares homogêneas definem sempre um subespaço (fechamento em soma e escalar está implícito).

Passo 3

Resolvendo as equações do sistema, temos
x=-2y, \quad z=0.
Logo todo vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z)=(-2y,\,y,\,0)=y\,(-2,1,0).

Passo 4

Isto implica
S = \{\,t(-2,1,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.
O vetor (-2,1,0) gera S e, por ser não nulo, é linearmente independente.

Passo 5

Portanto \{(-2,1,0)\} é uma base de S e a dimensão de S é o número de vetores dessa base, isto é, 1.

Resposta

Uma base para S é \{(-2,1,0)\} e \dim(S)=1.

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