- Questão 2 : (2 pontos) Mostre que os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
. Para ambos, exiba uma base e determine sua dimensão.
b)
e
b)
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
O conteúdo é subespaço vetorial de
, e precisamos exibir uma base de
e determinar sua dimensão.
Passo 2
Para mostrar que
O vetor nulo ((0,0,0)] satisfaz essas equações, e equações lineares homogêneas definem sempre um subespaço (fechamento em soma e escalar está implícito).
Passo 3
Resolvendo as equações do sistema, temos
Logo todo vetor de
pode ser escrito como
Passo 4
Isto implica
O vetor
gera
e, por ser não nulo, é linearmente independente.
Passo 5
Portanto
é uma base de
e a dimensão de
é o número de vetores dessa base, isto é,
.
Resposta
Uma base para
é
e
.