- Questão 2 : (2 pontos) Mostre que os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
. Para ambos, exiba uma base e determine sua dimensão.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço vetorial de
. Em seguida, precisamos exibir uma base de
e determinar sua dimensão. O conteúdo aqui envolve a definição de subespaço (fechamento para combinação linear ou núcleo de aplica\c{c}~{a}o linear), e o conceito de base e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Definimos a aplicação linear
Então
Como o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço, concluímos que
é subespaço de
. Em particular,
e, se
e
, então
logo
.
Passo 3
Para encontrar uma base, escrevemos o ponto genérico
satisfazendo
Logo todo vetor de
pode ser paramatrizado por
e
livres:
Isso mostra que os vetores
geram
. Como
e
são claramente linearmente independentes, eles formam uma base de
.
Resposta
Uma base de
é
e sua dimensão é