• Questão 2 : (2 pontos) Mostre que os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}. Para ambos, exiba uma base e determine sua dimensão.
    a) S=\{(x, y, z) ; x+3 y-2 z=0\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x + 3y - 2z = 0\}
é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Em seguida, precisamos exibir uma base de S e determinar sua dimensão. O conteúdo aqui envolve a definição de subespaço (fechamento para combinação linear ou núcleo de aplica\c{c}~{a}o linear), e o conceito de base e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Definimos a aplicação linear
f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\quad f(x,y,z) = x + 3y - 2z.
Então
S = \ker(f) = \{v\in \mathbb{R}^3 \mid f(v)=0\}.
Como o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço, concluímos que S é subespaço de \mathbb{R}^3. Em particular, (0,0,0)\in S e, se v,w\in S e \alpha,\beta\in \mathbb{R}, então
f(\alpha v + \beta w) = \alpha\,f(v) + \beta\,f(w) = \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0,
logo \alpha v + \beta w\in S.

Passo 3

Para encontrar uma base, escrevemos o ponto genérico (x,y,z)\in S satisfazendo
x + 3y - 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3y + 2z.
Logo todo vetor de S pode ser paramatrizado por y e z livres:
(x,y,z) = (-3y+2z,\;y,\;z) = y\,(-3,1,0) + z\,(2,0,1).
Isso mostra que os vetores
v_1 = (-3,1,0), \quad v_2 = (2,0,1)
geram S. Como v_1 e v_2 são claramente linearmente independentes, eles formam uma base de S.

Resposta

Uma base de S é
\{\,(-3,1,0),\;(2,0,1)\},
e sua dimensão é
\dim(S) = 2.

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