Em cada item, calcule a integral \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r} e f\left(P_{f}\right)-f\left(P_{i}\right) e verifique que o resultado é o mesmo. Observação. P_{f} e P_{i} são os pontos final e inicial da curva C, respectivamente.
f(x, y, z)=2 x^{2}-y+z e C é o segmento de reta com ponto inicial (1,2,-1) e ponto final (0,2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \nabla f\cdot d\vec r
e também o valor
f(P_{f}) - f(P_{i})
para a função
f(x,y,z)=2x^{2}-y+z
ao longo do segmento de reta C que vai de P_{i}=(1,2,-1) a P_{f}=(0,2,0). O conteúdo usado será o Teorema do Gradiente, que garante que para funções com campo conservativo \nabla f a integral de linha independe do caminho e vale exatamente f(P_{f})-f(P_{i}). Vamos também parametrizar C para fazer a integral diretamente.

Passo 2

Calcular o gradiente de f.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=4x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=1,
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\nabla f=(4x,\,-1,\,1).

Passo 3

Parametrizar o segmento C.
Uma parametrização afim é
\vec r(t) = (1,2,-1)+t\bigl((0,2,0)-(1,2,-1)\bigr) =(1-t,\,2,\, -1+t),\quad 0\le t\le1.
Então
d\vec r = \vec r\,'(t)\,dt = (-1,\,0,\,1)\,dt.

Passo 4

Calcular diretamente a integral de linha:
\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(4(1-t),\,-1,\,1\bigr),
então o produto escalar é
\nabla f(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t) =4(1-t)\cdot(-1)+(-1)\cdot0+1\cdot1 =-4+4t+1=4t-3.
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\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}(4t-3)\,dt =\bigl[2t^{2}-3t\bigr]_{0}^{1} =2-3=-1.

Passo 5

Calcular f(P_{f})-f(P_{i}).
Primeiro
f(P_{i})=f(1,2,-1) =2\cdot1^{2}-2+(-1)=2-2-1=-1,
e
f(P_{f})=f(0,2,0) =2\cdot0^{2}-2+0=-2.
Portanto
f(P_{f})-f(P_{i})=-2-(-1)=-1.

Passo 6

Concluímos que
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r=-1 \quad\text{e}\quad f(P_{f})-f(P_{i})=-1,
ou seja, os dois resultados coincidem como previsto pelo Teorema do Gradiente.

Resposta

\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = -1, \quad f(P_{f})-f(P_{i}) = -1.

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