Em cada item, calcule a integral
e
e verifique que o resultado é o mesmo. Observação.
e
são os pontos final e inicial da curva
, respectivamente.
e
é o segmento de reta com ponto inicial
e ponto final
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
e também o valor
para a função
ao longo do segmento de reta
que vai de
a
. O conteúdo usado será o Teorema do Gradiente, que garante que para funções com campo conservativo
a integral de linha independe do caminho e vale exatamente
. Vamos também parametrizar
para fazer a integral diretamente.
Passo 2
Calcular o gradiente de
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
logo
Passo 3
Parametrizar o segmento
.
Uma parametrização afim é
Uma parametrização afim é
Então
Passo 4
Calcular diretamente a integral de linha:
então o produto escalar é
Logo
Passo 5
Calcular
.
Primeiro
Primeiro
e
Portanto
Passo 6
Concluímos que
ou seja, os dois resultados coincidem como previsto pelo Teorema do Gradiente.