Em cada item, calcule a integral \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r} e f\left(P_{f}\right)-f\left(P_{i}\right) e verifique que o resultado é o mesmo. Observação. P_{f} e P_{i} são os pontos final e inicial da curva C, respectivamente.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+y e C é a curva \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \nabla f\cdot d\vec r
e também a diferença
f\bigl(P_{f}\bigr)-f\bigl(P_{i}\bigr),
onde f(x,y)=x^{2}+y^{2}+y e C é o círculo unitário orientado no sentido anti-horário dado por
\vec r(t)=(\cos t,\sin t),\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental para campos conservativos: para f potencial,
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r = f(P_{f})-f(P_{i}).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x,\;2y+1).
Como \vec r(t)=(\cos t,\sin t), temos
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\cos t).

Passo 3

Em seguida formamos o produto escalar
\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t) =(2\cos t,\;2\sin t+1)\cdot(-\sin t,\cos t).
Desenvolvendo,
(2\cos t)(-\,\sin t)+(2\sin t+1)(\cos t) =-2\cos t\sin t+2\sin t\cos t+\cos t =\cos t.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt =\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} =\sin(2\pi)-\sin(0)=0.

Passo 5

Os pontos inicial e final são
P_{i}=\vec r(0)=(1,0), \quad P_{f}=\vec r(2\pi)=(1,0).
Logo
f(P_{f})-f(P_{i}) =f(1,0)-f(1,0)=\bigl(1^{2}+0^{2}+0\bigr)-\bigl(1^{2}+0^{2}+0\bigr)=0.

Resposta

\int_{C}\nabla f\cdot d\vec r=0, \qquad f(P_{f})-f(P_{i})=0.

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