Para cada um dos subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{4}, determine uma base e a sua dimensão.
\{(x, y, z, w) ; x+2 y=0 e w-z+y=0\}

Passo 1

O subespaço é dado em \mathbb{R}^4 pelos dois sistemas lineares
\begin{cases} x + 2y = 0,\\\ w - z + y = 0. \end{cases}
Para encontrar uma base, vamos resolver esse sistema, parametrizar as variáveis livres e extrair vetores geradores independentes.

Passo 2

Da primeira equação vem
x = -2y,
e da segunda equação vem
w = z - y.

Passo 3

Tomamos y = s e z = t como parâmetros livres, com s,t\in\mathbb{R}. Então
(x,y,z,w) = (-2s,\;s,\;t,\;t - s).
Isso pode ser reescrito em forma de combinação linear:
(-2s,\;s,\;t,\;t - s) = s\,(-2,1,0,-1)\;+\;t\,(0,0,1,1).

Passo 4

Os vetores
v_1 = (-2,1,0,-1) \quad\text{e}\quad v_2 = (0,0,1,1)
geram o subespaço e são linearmente independentes (não há escalar \lambda tal que v_1 = \lambda v_2). Portanto, \{v_1,v_2\} é uma base.

Passo 5

Como a base tem dois vetores, a dimensão do subespaço é
\dim = 2.

Resposta

Uma base é
\{\,(-2,1,0,-1),\;(0,0,1,1)\},
e a dimensão vale 2.

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