Para cada um dos subespaços vetoriais de
, determine uma base e a sua dimensão.
e
Passo 1
O subespaço é dado em
pelos dois sistemas lineares
Para encontrar uma base, vamos resolver esse sistema, parametrizar as variáveis livres e extrair vetores geradores independentes.
Passo 2
Da primeira equação vem
e da segunda equação vem
Passo 3
Tomamos
e
como parâmetros livres, com
. Então
Isso pode ser reescrito em forma de combinação linear:
Passo 4
Os vetores
geram o subespaço e são linearmente independentes (não há escalar
tal que
). Portanto,
é uma base.
Passo 5
Como a base tem dois vetores, a dimensão do subespaço é
Resposta
Uma base é
e a dimensão vale
.