Para cada um dos subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{4}, determine uma base e a sua dimensão.
\{(x, y, z, w) ; x-y+2 z=0 e w=0\}

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de \mathbb{R}^4 definido pelas equações lineares
x - y + 2z = 0
e
w = 0.
O conteúdo aqui é resolver um sistema homogêneo e expressar o conjunto solução em forma paramétrica para extrair uma base e a dimensão.

Passo 2

Vamos escolher variáveis livres. Das duas equações vemos que podemos deixar y e z como parâmetros livres, e então obter
x = y - 2z, \quad w = 0.
Portanto um vetor genérico satisfafazendo essas condições é
(x,y,z,w) = (y - 2z,\;y,\;z,\;0).

Passo 3

Escrevendo em função dos parâmetros y e z, temos
(y-2z,y,z,0) = y\,(1,1,0,0) + z\,(-2,0,1,0).
Os vetores (1,1,0,0) e (-2,0,1,0) geram o subespaço, e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base é
\{(1,1,0,0),\,(-2,0,1,0)\},
e a dimensão desse subespaço é 2.

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