Em cada item, calcule a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
\vec{F}(x, y)=\left(\operatorname{tg} y, x \operatorname{sec} ^{2} y\right) e C é qualquer curva com ponto inicial (1,0) e ponto final \left(0, \frac{\pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
para \vec F(x,y)=(\tan y,\;x\operatorname{sec}^2y) ao longo de qualquer curva C de (1,0) até \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr).
O conteúdo aqui é “campo vetorial conservativo”: se \vec F for gradiente de algum potencial f, então
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=f\bigl(0,\tfrac\pi4\bigr)-f(1,0).

Passo 2

Definimos P(x,y)=\tan y e Q(x,y)=x\operatorname{sec}^2y. Para ver se \vec F é conservativo, comparamos
\partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{d}{dy}(\tan y) =\operatorname{sec}^2y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{d}{dx}(x\operatorname{sec}^2y) =\operatorname{sec}^2y.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio (onde \operatorname{sec} y está definido) é simplesmente conexo, \vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=\tan y.
Integrando em x:
f(x,y)=x\tan y+g(y).
Para determinar g(y), usamos
\frac{\partial f}{\partial y} =x\operatorname{sec}^2y+g'(y) \underset{!}{=}Q(x,y)=x\operatorname{sec}^2y,
logo g'(y)=0 e g(y) é constante que podemos tomar zero. Assim
f(x,y)=x\tan y.

Passo 4

A integral de linha é
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =f\Bigl(0,\tfrac\pi4\Bigr)-f(1,0).
Calculando:
f\Bigl(0,\tfrac\pi4\Bigr) =0\cdot\tan\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=0, \qquad f(1,0)=1\cdot\tan(0)=0,
portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =0-0=0.

Resposta

0

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