Calcule o fluxo do rotacional do campo \vec{F}=y \vec{i}+z \vec{j}+x^{2} \vec{k} através da superfície S na direçāo normal unitária exterior, onde S: \vec{r}(\theta, \varphi)=(2 \operatorname{sen} \varphi \cos \theta) \vec{i}+(2 \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta) \vec{j}+(2 \cos \varphi) \vec{k}.
\begin{gathered} \left|\vec{r}_{\varphi} \times \vec{r}_{\theta}\right|=a^{2} \operatorname{sen} \varphi \\ \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d \sigma=\iint_{D} \int \nabla \cdot \vec{F} d V \\ \oint_{C} \vec{F} \cdot d \dot{\vec{r}}=\iint_{S} \nabla \times \vec{F} \cdot \vec{n} d \sigma \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \nabla\times\vec{F} através da superfície fechada S, que é a esfera de raio 2 parametrizada por
\vec r(\theta,\varphi)=(2\sin\varphi\cos\theta)\,\vec i+(2\sin\varphi\sin\theta)\,\vec j+(2\cos\varphi)\,\vec k,
com a normal unitária exterior. O conteúdo é cálculo vetorial, em particular fluxo de rotacional.

Passo 2

Vamos calcular \nabla\times\vec{F} para
\vec{F}=y\,\vec i+z\,\vec j+x^{2}\,\vec k.
Pelo determinante,
\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ y & z & x^2 \end{vmatrix} =(-1)\,\vec i+(-2x)\,\vec j+(-1)\,\vec k.

Passo 3

Como S é superfície fechada, o fluxo de \nabla\times\vec{F} sobre S pode ser convertido em integral de volume pela identidade de Gauss:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec n\,d\sigma =\iiint_{V}\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})\,dV.
Mas sabe-se que \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 para todo campo suave.

Resposta

O fluxo é 0.

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