Encontre o fluxo da função \vec{F}=y \vec{i}+z \vec{j}-\vec{k} através dą superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, para 0 \leq z \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
\vec F = y\,\vec i + z\,\vec j - \vec k
pela superfície lateral do cone
\displaystyle z = \sqrt{x^2 + y^2}, 0 \le z \le 2.
Para simplificar, vamos fechar essa superfície lateral com o disco no plano z=2 e aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\div \vec F = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(z) + \frac{\partial}{\partial z}(-1) = 0 + 0 + 0 = 0.

Passo 3

Como \div \vec F = 0, o fluxo total pela superfície fechada (cone lateral S mais disco D em z=2) é nulo:
\Phi_S + \Phi_D = 0.

Passo 4

No disco D de raio 2 (plano z=2), o vetor normal saindo do volume é \vec n = \vec k.
Sobre z=2 temos \vec F\cdot\vec n = -1.
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\Phi_D = \iint_{D}\vec F\cdot\vec n\,dS = (-1)\cdot\mathrm{Área}(D) = -1\cdot \bigl(\pi\cdot2^2\bigr) = -4\pi.Á

Passo 5

Da relação \Phi_S + \Phi_D = 0 segue
\Phi_S = -\,\Phi_D = 4\pi.

Resposta

4\pi

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