Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge: \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\log n}{n}\right)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n}.
Estamos no contexto de séries numéricas e vamos usar o Teste da Integral para determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Definimos a função contínua, positiva e decrescente para x\ge2:
f(x)=\frac{\log x}{x}.
Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{\frac1x\cdot x - \log x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2}.
Como \log x>1 para x>e\approx2{,}718, temos f'(x)<0 a partir de x=3. Isso basta para aplicar o Teste da Integral, já que mudar um termo finito não altera a convergência.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral calculando
\int_{2}^{T}\frac{\log x}{x}\,dx.
Fazendo a troca u=\log x, du=\frac{1}{x}dx, obtemos