Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\log n}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n}.
Estamos no contexto de séries numéricas e vamos usar o Teste da Integral para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e decrescente para x\ge2:
f(x)=\frac{\log x}{x}.
Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{\frac1x\cdot x - \log x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2}.
Como \log x>1 para x>e\approx2{,}718, temos f'(x)<0 a partir de x=3. Isso basta para aplicar o Teste da Integral, já que mudar um termo finito não altera a convergência.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral calculando
\int_{2}^{T}\frac{\log x}{x}\,dx.
Fazendo a troca u=\log x, du=\frac{1}{x}dx, obtemos
\int_{2}^{T}\frac{\log x}{x}\,dx =\int_{\log 2}^{\log T}u\,du =\frac{u^{2}}{2}\Big|_{\log 2}^{\log T} =\frac{(\log T)^{2}}{2}-\frac{(\log 2)^{2}}{2}.
Quando T\to\infty, (\log T)^{2}\to\infty, logo a integral diverge.
Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx = \infty,
a série correspondente também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\log n}{n}
é divergente.

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