Prove que se a_{n} \geq 0 e \sum a_{n}^{2} converge, então \sum \frac{a_{n}}{n} converge.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma sequência não-negativa \{a_{n}\} tal que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}\quad\text{converge},
e pede para mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}\quad\text{converge}.
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries via desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Recordamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries: para duas sequências reais \{x_{n}\} e \{y_{n}\} vale
\sum_{n=1}^{N}x_{n}y_{n} \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^{N}x_{n}^{2}}\;\sqrt{\sum_{n=1}^{N}y_{n}^{2}} \quad\text{para todo }N\in\mathbb{N}.

Passo 3

Aplicamos esta desigualdade escolhendo
x_{n}=a_{n}, \quad y_{n}=\frac{1}{n}.
Isso dá, para cada N,
\sum_{n=1}^{N}\frac{a_{n}}{n} \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}} \;\sqrt{\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} converge por hipótese e que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é a série de Basel, também convergente. Logo, os termos à direita têm limites finitos quando N\to\infty, e segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}
é limitada e monótona crescente (pois a_{n}\ge0), portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n} converge por aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz.

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