Prove que se
e
converge, então
converge.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma sequência não-negativa
tal que
e pede para mostrar que
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries via desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Recordamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries: para duas sequências reais
e
vale
Passo 3
Aplicamos esta desigualdade escolhendo
Isso dá, para cada
,
Passo 4
Sabemos que
converge por hipótese e que
é a série de Basel, também convergente. Logo, os termos à direita têm limites finitos quando
, e segue que
é limitada e monótona crescente (pois
), portanto converge.
Resposta
A série
converge por aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz.