Uma peça metálica tem a forma do sólido que está dentro da esfera x^2+y^2 4 e acima do plano z=0. Encontre o volume desta peça.

Passo 1

Estamos buscando o volume da parte da esfera de raio 2 definida por x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está acima do plano z=0. O conteúdo aqui é cálculo de volumes usando integração de fatias (método de discos). Vamos usar cortes horizontais para resolver.

Passo 2

Em cada altura z entre 0 e 2, a interseção com a esfera é um círculo de raio r(z)=raiz4 - z^2. A área dessa seção transversal é A(z)=pi [r(z)]^2 = pi(4 - z^2).

Passo 3

O volume é obtido integrando as áreas das fatias de z=0 até z=2:

Passo 4

V = integral0^2 A(z),dz = integral0^2 pi(4 - z^2),dz

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo:

Passo 6

V = pi integral0^2 (4 - z^2),dz = pi l[4z - tfracz^33r]0^2 = pil(8 - tfrac83r) = pi cdot tfrac163

Resposta

16pi3

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