Em cada item, calcule integral triplaD f(x, y, z) d V, em que D é a região de R^3 indicada em cada item.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 ; D é a bola com centro na origem e raio 5 (Utilize coordenadas esféricas.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaD(x^2+y^2+z^2),dV
onde D é a bola de centro na origem e raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas, em que
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
o que faz com que x^2+y^2+z^2=rho^2 e o elemento de volume seja
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Substituindo na integral, obtemos
integral triplaD(x^2+y^2+z^2),dV =integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^5rho^2,l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta =integral0^2piintegral0^piintegral0^5rho^4sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Calcule a integral radial:
integral0^5rho^4,drho =rho^55|0^5 =5^55 =5^4 =625

Passo 4

Agora as integrais angulares:
integral0^pisinphi,dphi =2, integral0^2pidtheta =2pi
Multiplicando tudo:
625times 2times 2pi =2500pi

Resposta

2500pi

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