2^a Questão

Uma transformação linear T: R^2 R^3 é dada pela matriz de transformação T=[cc-1 & 1 -1 & 3 1 & 5] então, o conjunto imagem dessa transformação pode ser representado por
(a) Im(T)=[(1,1,-1),(0,1,3)]
(b) Im(T)=[(-1,-1,1),(1,3,5)]
(c) Im(T)=[(1,0),(0,1)]
(d) Im(T)=[(1,1,-1),(0,3,5)]
(e) Im(T)=[(-1,-1,1),(0,4,4)]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear T: R^2 R^3 representada por uma matriz T = [cc-1 & 1 -1 & 3 1 & 5] . O objetivo é descobrir qual das opções dadas representa o conjunto imagem dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar o conjunto imagem (ou imagem da transformação) e trabalhar com combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear T entre dois espaços vetoriais transforma vetores de um espaço para outro de maneira que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T transforma vetores de R^2 para R^3 .

Passo 3

O conjunto imagem de T , denotado por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^3 que podem ser obtidos como T(x) para algum vetor x em R^2 . Em termos simples, é o “espaço de chegada” que a transformação T atinge.

Passo 4

Para encontrar Im(T) , precisamos olhar para as colunas da matriz T . As colunas representam os vetores de imagem dos vetores base de R^2 . Ou seja, se T é representada por [v1 v2] , então Im(T) = spanv1, v2 , que é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 5

Vamos identificar as colunas da matriz T :
v1 = -1 -1 1 , v2 = 1 3 5
Então, Im(T) = spanv1, v2 .

Passo 6

Agora, vamos comparar com as opções fornecidas:
(a) Im(T) = (1,1,-1), (0,1,3)
(b) Im(T) = (-1,-1,1), (1,3,5)
(c) Im(T) = (1,0), (0,1)
(d) Im(T) = (1,1,-1), (0,3,5)
(e) Im(T) = (-1,-1,1), (0,4,4)

Passo 7

Vemos que as colunas que identificamos são v1 = (-1, -1, 1) e v2 = (1, 3, 5). Comparando com as opções:
  • A opção (b) corresponde exatamente a esses vetores.
  • As outras opções ou têm vetores diferentes ou estão em espaços com dimensões erradas.

Resposta

A resposta correta é a letra (b):
Im(T) = [, (-1, -1, 1), (1, 3, 5) ,]

Exercícios relacionados