Calcule a área da região localizada no quadrante II, limitada pelas curvas: .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está no Quadrante II, ou seja, onde o x é negativo e o y é positivo, e que é limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas, integrando a diferença das funções nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para resolver para :
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, , e .
Passo 5
Calculando o discriminante:
Passo 6
Então, as soluções para são:
Passo 7
Como estamos no Quadrante II, onde é negativo, vamos considerar a solução negativa:
Passo 8
Agora, vamos determinar os limites de integração. No Quadrante II, varia de até o ponto onde a curva cruza o eixo , que é quando .
Passo 9
Para encontrar a área entre as curvas, integramos a diferença entre as funções e no intervalo encontrado: