Em cada item, calcule integral triplaD f(x, y, z) d V, em que D é a região de R^3 indicada em cada item.
f(x, y, z)=x^2 ; D é o sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z^2=4 x^2+4 y^2. (Utilize coordenadas cilíndricas.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o triplo integral integral triplaD x^2,dV, onde D é o sólido em R^3 limitado por: o cilindro x^2+y^2=1, o plano z=0 em baixo e o cone z^2=4(x^2+y^2) por cima. O assunto é integração tripla em coordenadas cilíndricas e vamos usar a transformação x=rcostheta, y=rsintheta, z=z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o cilindro vira 0<= r<=1, o ângulo 0<=theta<=2pi e o cone z^2=4r^2 0<= z<=2r. Portanto os limites de integração são:

Passo 3

0<=theta<=2pi, , 0<= r<=1, , 0<= z<=2r.

Passo 4

A função x^2 vira r^2cos^2theta e o elemento de volume dV=r,dz,dr,dtheta. Assim a integral fica

Passo 5

integral triplaD x^2,dV=integral0^2piintegral0^1integral0^2rr^2cos^2theta,(r),dz,dr,dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em z:

Passo 7

integral0^2rr^3cos^2theta,dz = r^3cos^2theta,(2r)=2r^4cos^2theta

Passo 8

Então separamos a integral em r e theta:

Passo 9

integral0^2piintegral0^12r^4cos^2theta,dr,dtheta =2l(integral0^1r^4,drr)l(integral0^2picos^2theta,dthetar)

Passo 10

Calculamos integral0^1r^4,dr=1/5 e integral0^2picos^2theta,dtheta=pi.

Passo 11

Multiplicando tudo, obtemos

Passo 12

2times tfrac15times pi=tfrac2pi5

Resposta

tfrac2pi5

Exercícios relacionados