Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    8x^2-9 cdot x-312

Passo 1

O enunciado pede para simplificar duas expressões racionais. O conteúdo principal aqui é álgebra de frações: fatorar polinômios, encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para somar frações, fazer cancelamentos e simplificar.

Passo 2

Vamos ao item (i):
1x ;+;2x^2-2x;-;6x^2-4
Primeiro, fatoramos todos os denominadores:
x^2-2x = x(x-2),
x^2-4 = (x-2)(x+2)

Passo 3

O MMC entre x, x(x-2) e (x-2)(x+2) é
x(x-2)(x+2)
Reescrevendo cada fração sobre esse denominador:
1x = (x-2)(x+2)x(x-2)(x+2),
2x(x-2) = 2,(x+2)x(x-2)(x+2),
-6(x-2)(x+2) = -6,xx(x-2)(x+2)

Passo 4

Somando os numeradores sobre o mesmo denominador:
(x-2)(x+2) ;+;2(x+2);-;6x = (x^2-4) + (2x+4) -6x = x^2-4x
Logo a soma vale
x^2-4xx(x-2)(x+2) = x(x-4)x(x-2)(x+2) = x-4(x-2)(x+2)

Passo 5

Agora o item (ii):
8x^2-9 ;cdot;x-312
Fatorando o denominador x^2-9:
x^2-9 = (x-3)(x+3)

Passo 6

Escrevendo o produto e cancelando o fator comum (x-3), além de simplificar 8/12:
8(x-3)(x+3) cdot x-312 = 8,(x-3)12,(x-3)(x+3) = 812,(x+3) = 23,(x+3)

Resposta

(i) x-4(x-2)(x+2)
(ii) 23,(x+3)

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