Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-8 x+12}{3 x^{2}+6 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-8x+12}{3x^{2}+6x-2}.
Isso é um limite de uma função racional quando x cresce sem limite. A técnica clássica aqui é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente, que é x^{2}.

Passo 2

Vamos dividir cada termo por x^{2}:
\frac{x^{2}-8x+12}{3x^{2}+6x-2} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{8x}{x^{2}}+\frac{12}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{6x}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}} = \frac{1 - \frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x} - \frac{2}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora, quando x\to\infty, os termos \tfrac{8}{x},\tfrac{12}{x^{2}},\tfrac{6}{x},\tfrac{2}{x^{2}} tendem a zero. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1 - \tfrac{8}{x} + \tfrac{12}{x^{2}}}{3 + \tfrac{6}{x} - \tfrac{2}{x^{2}}} = \frac{1-0+0}{3+0-0} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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