Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-1)(x-2)^{2}}{(x-2)(x-3)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to2}\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{(x-2)(x-3)}
Este é um problema de limite de função racional que apresenta uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Observe que o numerador e o denominador têm o fator comum (x-2). Como estamos interessados em x\neq2 durante o processo de simplificação, podemos cancelar esse fator:
\frac{(x-1)(x-2)^{2}}{(x-2)(x-3)} =\frac{(x-1)(x-2)\,\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}\,(x-3)} =\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\,.

Passo 3

A função simplificada
g(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}
é contínua em x=2. Portanto, o limite de g(x) quando x\to2 é simplesmente g(2). Substituindo x=2:
g(2)=\frac{(2-1)(2-2)}{2-3} =\frac{1\cdot0}{-1}=0.

Resposta

O valor do limite é 0.

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