Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-2 x+5}{(x-2)(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-2x+5}{(x-2)(x-1)}.
O conteúdo envolve limites infinitos e análise de sinais para determinar o comportamento da função quando o denominador tende a zero.

Passo 2

Começamos avaliando o numerador em x=2:
2^{2}-2\cdot2+5 = 4 -4 +5 = 5.
O denominador em x=2 é (2-2)(2-1)=0\cdot1=0.
Logo obtemos forma \tfrac{5}{0}, indicando que o valor da função tende a infinito (positivo ou negativo) conforme o sinal do denominador.

Passo 3

Analisemos o limite pela direita, x\to2^+.
Para x>2 temos
(x-2)>0 e (x-1)>0,
então (x-2)(x-1)>0.
Assim,
\frac{x^{2}-2x+5}{(x-2)(x-1)} \to +\infty \quad\text{quando }x\to2^+.

Passo 4

Agora o limite pela esquerda, x\to2^-.
Para x<2 mas próximo de 2, temos
(x-2)<0 e (x-1)>0,
logo (x-2)(x-1)<0.
Assim,
\frac{x^{2}-2x+5}{(x-2)(x-1)} \to -\infty \quad\text{quando }x\to2^-.

Passo 5

Os limites laterais são diferentes ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), portanto o limite em x=2 não existe.

Resposta

O limite não existe.

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