Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-5 x+6}{3 x^{5}+2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-5x+6}{3x^{5}+2x-1}.
Este é um limite de função racional no infinito; vamos comparar os graus dos polinômios e fatorar pelo maior termo para ver o comportamento.

Passo 2

Notamos que o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador de grau 5.
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, o limite costuma ser zero.

Passo 3

Para formalizar, dividimos numerador e denominador por x^{5}, o maior grau que aparece no denominador:
\frac{x^{2}-5x+6}{3x^{5}+2x-1} = \frac{x^{2}\bigl(1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}\bigr)}{x^{5}\bigl(3 + \tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{1}{x^{5}}\bigr)} = \frac{1}{x^{3}}\;\frac{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}{3 + \tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{1}{x^{5}}}\,.

Passo 4

Quando x\to -\infty, todos os termos \tfrac{1}{x}, \tfrac{1}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{4}}, \tfrac{1}{x^{5}} tendem a zero, logo
\frac{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}{3 + \tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{1}{x^{5}}} \;\longrightarrow\;\frac{1}{3}.
Assim
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}-5x+6}{3x^{5}+2x-1} =\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}\;\frac{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}{3 + \tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{1}{x^{5}}} =\frac{1}{3}\;\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}.

Passo 5

E sabemos que
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
Logo o limite original é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados