Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+x^{5 / 2}+4}{5 x^{2}+3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+x^{5/2}+4}{5x^{2}+3x+1}.
O conteúdo aqui é comparação de ordens de grandeza de potências de x: para x muito grande, apenas o termo de maior expoente em cada polinômio domina o comportamento da fração.

Passo 2

No numerador o termo de maior ordem é x^{5/2} (grau 2{,}5) e no denominador é 5x^{2} (grau 2). Para x\to\infty os demais termos tornam-se desprezíveis, então
\frac{2x^{2}+x^{5/2}+4}{5x^{2}+3x+1} \sim \frac{x^{5/2}}{5x^{2}} = \frac{1}{5}\,x^{1/2}.
Como x^{1/2}\to+\infty quando x\to\infty, a fração cresce sem limite.

Resposta

+\infty

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