A perna humana tem uma frequência natural medida de aproximadamente 20 Hz quando está na sua posição rígida (joelho travado) na direção longitudinal (isto é, ao longo do comprimento do osso) com um fator de amortecimento de \zeta=0,224. Calcule a resposta da ponta do osso da perna para uma velocidade inicial de v 0=0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e deslocamento inicial zero (isto corresponderia à vibração provocada ao saltar com os joelhos travados a partir de uma altura de 18 mm ) e trace a resposta. Por último desprezando o amortecimento, calcule a aceleração máxima experimentada pela perna.

Passo 1

O enunciado modela a perna como um sistema de um grau de liberdade com frequência natural f_n=20\\ \mathrm{Hz} e razão de amortecimento \zeta=0,224. Queremos a resposta livre amortecida x(t) sujeita a deslocamento inicial x(0)=0 e velocidade inicial x'(0)=v_0=0,6\\ \mathrm{m/s}. Em seguida desprezamos o amortecimento para calcular a aceleração máxima. Para resolver, vamos (i) calcular \omega_n e \omega_d, (ii) usar a solução padrão do caso subamortecido e (iii) obter a aceleração no caso não amortecido.

Passo 2

A frequência angular não amortecida é
\omega_n = 2\pi f_n = 2\pi \cdot 20 = 40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx125{,}66\\ \mathrm{rad/s}.
O pulsação amortecida é
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} =125{,}66\sqrt{1-0{,}224^2} \approx125{,}66\cdot0{,}9746 \approx122{,}44\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral do regime livre subamortecido é
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\sin(\omega_d t)+B\cos(\omega_d t)\bigr).
Das condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=v_0 vem
x(0)=B=0, \quad x'(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\omega_d\cos(\omega_d t)-B\omega_d\sin(\omega_d t)\bigr)-\zeta\omega_n e^{-\zeta\omega_n t}(A\sin(\omega_d t)+B\cos(\omega_d t)),
logo em t=0
x'(0)=A\,\omega_d = v_0 \;\Longrightarrow\; A=\frac{v_0}{\omega_d}\approx\frac{0,6}{122{,}44}\approx0{,}00490\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Portanto a resposta amortecida é
x(t) =\frac{v_0}{\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t}\,\sin(\omega_d t) \approx0{,}00490\,e^{-0{,}224\cdot125{,}66\,t}\,\sin(122{,}44\,t)\quad[\mathrm{m}].
Esse é um seno amortecido de amplitude inicial 0{,}00490\\ \mathrm{m} ( \approx 4,9 mm) decaindo com taxa e^{-28{,}14\,t}. Para traçar, basta plotar x(t) nos primeiros instantes (por ex. t de 0 a 0,1 s), observar os picos decrescentes.

Passo 5

Sem amortecimento ( \zeta=0), temos
x(t)=\frac{v_0}{\omega_n}\sin(\omega_n t),
logo a aceleração é
a(t)=x''(t)=-\frac{v_0}{\omega_n}\,\omega_n^2\sin(\omega_n t) =-v_0\,\omega_n\sin(\omega_n t).
O valor máximo de |a| ocorre quando \sin(\omega_n t)=\pm1, dando
a_{\max}=v_0\,\omega_n =0{,}6\cdot125{,}66\approx75{,}4\\ \mathrm{m/s^2}
( \approx 7,7 g).

Resposta

A resposta amortecida da ponta da perna é
\boxed{ x(t)=\frac{0,6}{122{,}44}\,e^{-0{,}224\cdot125{,}66\,t}\,\sin(122{,}44\,t) \approx0{,}00490\,e^{-28{,}14\,t}\sin(122{,}44\,t). }
Desprezando o amortecimento, a aceleração máxima vale
\boxed{a_{\max}=v_0\,\omega_n\approx75{,}4\\ \mathrm{m/s^2}\\ (\approx7{,}7\,g).}

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