Para cada item, calcule o limite ou mostre que o limite não existe.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}.
Aqui trabalhamos com limites de funções racionais que apresentam indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios para cancelar o fator que causa a indeterminação.

Passo 2

Primeiro, verificamos a tentativa de substituição direta x=1:
1^{5}-1=0 \quad\text{e}\quad 1^{2}-1=0,
logo a expressão é \tfrac{0}{0}, indeterminada.

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador:
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)
x^{2}-1=(x-1)(x+1)

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-1) (válido para x\neq1) e obtemos
\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1} =\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}.
Agora podemos tomar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to1}\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1} =\frac{1+1+1+1+1}{1+1} =\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

Exercícios relacionados