Para cada item, calcule f+g, f-g, f cdot g, f / g, f0 g, g0 f, k cdot f, onde k é uma constante.
f(x)=x1+x^2 g(x)=1 / x

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=x1+x^2, g(x)=1x,
e pede para calcular as operações soma, subtração, produto, quociente, as composições fcirc g e gcirc f e a multiplicação por constante k. Vamos usar as definições:
(fpm g)(x)=f(x)pm g(x)
(fcdot g)(x)=f(x),g(x)
l(tfracfgr)(x)=tfracf(x)g(x)
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
(kcdot f)(x)=k,f(x).
Note que g exige xneq0, logo todas as expressões envolvendo g têm domínio xneq0.

Passo 2

Calcular (f+g)(x) e (f-g)(x).
Para xneq0:
(f+g)(x)=x1+x^2+1x =x^2+(1+x^2)x(1+x^2) =2x^2+1x(1+x^2),
(f-g)(x)=x1+x^2-1x =x^2-(1+x^2)x(1+x^2) =-1x(1+x^2)

Passo 3

Calcular (fcdot g)(x) e l(tfracfgr)(x).
Para xneq0:
(fcdot g)(x) =x1+x^2cdot1x =11+x^2,
l(tfracfgr)(x) =x1+x^21x =x1+x^2cdot x =x^21+x^2

Passo 4

Calcular (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x).
Para xneq0:
(fcirc g)(x) =fl(g(x)r) =fl(tfrac1xr) =tfrac1x1+l(tfrac1xr)^2 =tfrac1xtfracx^2+1x^2 =xx^2+1,
(gcirc f)(x) =gl(f(x)r) =gl(x1+x^2r) =1x1+x^2 =1+x^2x

Passo 5

Calcular (kcdot f)(x).
Para todo x:
(kcdot f)(x) =kcdotx1+x^2 =k,x1+x^2

Resposta

(f+g)(x)=2x^2+1x(1+x^2), (f-g)(x)=-1x(1+x^2),
(fcdot g)(x)=11+x^2, l(fgr)(x)=x^21+x^2,
(fcirc g)(x)=xx^2+1, (gcirc f)(x)=1+x^2x,
(kcdot f)(x)=k,x1+x^2

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