Construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
f(x)=lllx^3, & se & x <= 0 1, & se & 0<x<2 x^2, & se & x >= 2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico, determinar o domínio e o conjunto imagem da função definida por
f(x)= x^3, & x<= 0, 1, & 0<x<2, x^2, & x>= 2
Conteúdo: funções definidas por partes, domínio e imagem. Vamos usar conhecimento de gráficos de x^3, reta horizontal e parábola x^2, além de união de intervalos.

Passo 2

Determinar o domínio é juntar os intervalos onde cada ramo está definido:
(-infty,0];cup;(0,2);cup;[2,infty);=;R
Logo, o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Construção do gráfico:
  • Para x<= 0: gráfico de y=x^3, trecho da cúbica que vai de (-infty,-infty) até o ponto fechado (0,0).
  • Para 0<x<2: reta horizontal y=1 com pontos abertos em (0,1) e (2,1).
  • Para x>= 2: gráfico da parábola y=x^2 para x>=2, com ponto fechado em (2,4) e seguindo para (+infty,+infty).
    Nos pontos x=0 e x=2 há descontinuidades do tipo salto: limxto0^+f(x)=1neq0=f(0) e limxto2^-f(x)=1neq4=f(2).

Passo 4

Determinar o conjunto imagem analisando cada ramo:
  • Ramo x<=0: x^3 varia em (-infty,0].
  • Ramo 0<x<2: valor constante 1.
  • Ramo x>=2: x^2 varia em [4,infty).
    Unindo tudo, a imagem é
(-infty,0];cup;1;cup;[4,infty)

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,0]cup1cup[4,infty)
Gráfico: conforme descrito no Passo 3.

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