Em cada item calcule f^{\prime}(x) se:
f(x)=\int_{x}^{1+x^{2}} \sqrt{1-t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\int_{x}^{\,1+x^{2}}\sqrt{1-t^{3}}\,dt.
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) e a Regra da Cadeia para limites de integração que dependem de x.

Passo 2

Pelo FTC estendido, se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aqui temos g(t)=\sqrt{1-t^{3}}, a(x)=x e b(x)=1+x^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=1, \qquad b'(x)=2x.
Substituindo na fórmula,
f'(x) =\sqrt{1-\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}\;\cdot 2x \;-\;\sqrt{1-x^{3}}\;\cdot 1.

Resposta

f'(x)=2x\,\sqrt{1-(1+x^{2})^{3}} \;-\;\sqrt{1-x^{3}}.

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