Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \cos ^{3} x \operatorname{sen}^{2} x d x (Sugestão: escreva \cos ^{3} x=\cos ^{2} x \cdot \cos x ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{3}x \,\operatorname{sen}^{2}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando a sugestão de escrever \cos^{3}x=\cos^{2}x\cdot\cos x e converter tudo em função de \operatorname{sen} x.

Passo 2

Usando \cos^{2}x=1-\operatorname{sen}^{2}x, reescrevemos o integrando:
\cos^{3}x\,\operatorname{sen}^{2}x =\bigl(\cos^{2}x\cdot\cos x\bigr)\operatorname{sen}^{2}x =(1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\operatorname{sen}^{2}x\;\cos x.
Logo
\int \cos^{3}x \,\operatorname{sen}^{2}x\,dx =\int (1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\operatorname{sen}^{2}x\;\cos x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\operatorname{sen} x, \quad du=\cos x\,dx.
Com isso, a integral em x vira uma integral em u.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int (1-\operatorname{sen}^{2}x)\,\operatorname{sen}^{2}x\;\cos x\,dx =\int (1-u^{2})\,u^{2}\,du =\int (u^{2}-u^{4})\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}, \quad \int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.
Portanto
\int (u^{2}-u^{4})\,du =\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}+C.
Voltando a variável original u=\operatorname{sen} x, fica
\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}+C.

Resposta

\int \cos^{3}x \,\operatorname{sen}^{2}x\,dx =\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}+C.

Exercícios relacionados