Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.) f(x)=-x (-1<x<0), f(x)=x (0<x<1), f(x)= 1 (1<x<3), p=4
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período p=4\) para a função definida em um período por
\[f(x)= \begin{cases} -x, & -1<x<0,\\\ x, & 0<x<1,\\\\ 1, & 1<x<3, \end{cases}
e depois esboçar as três primeiras somas parciais.
Para resolver, vamos usar a forma geral de série de Fourier em [x_0,x_0+p]\], com coeficientes
\[a_0=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\cos\Bigl(\frac{2\pi n}{p}x\Bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\sin\Bigl(\frac{2\pi n}{p}x\Bigr)\,dx,\]
e a série
\[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr)+b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr)\Bigr].\]
Aqui escolhemos o intervalo de integração \([-1,3].