Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=-x (-1<x<0), f(x)=x (0<x<1), f(x)= 1 (1<x<3), p=4

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período p=4\) para a função definida em um período por \[f(x)= \begin{cases} -x, & -1<x<0,\\\ x, & 0<x<1,\\\\ 1, & 1<x<3, \end{cases}
e depois esboçar as três primeiras somas parciais.
Para resolver, vamos usar a forma geral de série de Fourier em [x_0,x_0+p]\], com coeficientes \[a_0=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\cos\Bigl(\frac{2\pi n}{p}x\Bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{2}{p}\int_{x_0}^{x_0+p}f(x)\sin\Bigl(\frac{2\pi n}{p}x\Bigr)\,dx,\] e a série \[f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr)+b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr)\Bigr].\] Aqui escolhemos o intervalo de integração \([-1,3].

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{2}{4}\Bigl[\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_{0}^1 x\,dx+\int_{1}^3 1\,dx\Bigr] =\frac12\Bigl[\tfrac12+\tfrac12+2\Bigr] =\frac12\cdot3 =\frac32.
Logo o termo constante é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Coeficientes a_n e b_n. Defina k=\frac{n\pi}{2}.
Para a_n
a_n=\frac{1}{2}\int_{-1}^{3}f(x)\cos(kx)\,dx =\frac12\Bigl[\int_{-1}^{1}f(x)\cos(kx)\,dx+\int_{1}^{3}1\cdot\cos(kx)\,dx\Bigr].
Em [-1,1], f(x) é par, \cos(kx) é par, então
\int_{-1}^{1}f(x)\cos(kx)\,dx =2\int_{0}^{1}x\cos(kx)\,dx =2\Bigl(\frac{\sin k}{k}-\frac{1-\cos k}{k^2}\Bigr).
Em [1,3],
\int_{1}^{3}\cos(kx)\,dx =\frac{\sin(3k)-\sin k}{k}.
Somando e dividindo por 2, obtém-se depois de simplificar
a_n=\frac{\cos k-1}{k^2} =\frac{4\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr)}{n^2\pi^2}.
Para b_n, pela paridade nota-se que a parte [-1,1] se anula e
b_n=\frac12\int_{1}^{3}\sin(kx)\,dx =\frac{\cos k-\cos(3k)}{2k},
que, ao usar \cos(3k)=(-1)^n\cos k, dá sempre zero para todo n.

Passo 4

A série de Fourier final é
\boxed{ f(x)=\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr)}{n^2\pi^2} \;\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr). }

Passo 5

As três primeiras somas parciais (tomando S_N com n=1,\dots,N) são
S_1(x)=\frac{3}{4},
S_2(x)=\frac{3}{4} +\underbrace{\frac{4(\cos\pi-1)}{4\pi^2}}_{a_2=-\tfrac{2}{\pi^2}} \cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2}x\Bigr) =\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2}x\Bigr),
S_3(x)=S_2(x) +\underbrace{\frac{4(\cos\tfrac{3\pi}{2}-1)}{9\pi^2}}_{a_3=-\tfrac{4}{9\pi^2}} \cos\!\Bigl(\frac{3\pi}{2}x\Bigr) =\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{2}x\Bigr) -\frac{4}{9\pi^2}\cos\!\Bigl(\frac{3\pi}{2}x\Bigr).

Passo 6

Esboço qualitativo em x\in[-1,3]:
  1. S_1 é a reta horizontal y=0{,}75.
  2. S_2 adiciona um cosseno de período 4, gerando uma ondulação leve em torno de 0{,}75, mínima cerca de 0{,}55 em x=0 e máxima cerca de 0{,}95 em x=2.
  3. S_3 soma outro cosseno de harmônica 3, melhorando o ajuste ao degrau em x=1 e x=3, mas ainda sem captar totalmente as quebras.
 y
 1 ┤ . . .
 │ . . . . . .
0,9├ . . . . . .
 │ . ⋯ . . .
0,8├─────.————————+————————.──────────
 │ .│ 0,75 │. ondulações de \(S_{2}\) e \(S_{3}\)
0,7├──────┼────────────────┼─────────
 │ │ \(S_{1} =0,75\) │
0,6├───.──┼────────────────┼────.────
 │ . │ │ . \(S_{2}\) mínimo ~0,55 em x\(=00,5\)├──.───┴───────|────────┴─────────
 -\(113\) x

Resposta

f(x)=\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr)}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}x\Bigr).
As primeiras somas parciais são dadas por S_1, S_2 e S_3 acima, cujos esboços mostram a convergência gradual ao perfil de f(x).

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