Para cada item, calcule o valor da integral.
integralegral duplaR raiz[3]x^2-y^2 d x d y, onde R=[0,1] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRraiz[3]x^2-y^2,dx,dy,
em que R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo aqui é uso de simetria em integrais duplas e mudança de variáveis para mostrar cancelamento de áreas.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=raiz[3]x^2-y^2
e observamos que em R a reta x=y divide o quadrado em duas partes:
R1=(x,y):0<= y<x<=1, R2=(x,y):0<= x<y<=1,
enquanto a diagonal x=y tem medida zero, logo não contribui na integral.

Passo 3

Escrevemos
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integral duplaR1f(x,y),dx,dy +integral duplaR2f(x,y),dx,dy
Em R2 fazemos a troca de variáveis (u,v)=(y,x). Como a Jacobiana vale 1 e o domínio de (u,v) cai em R1, temos
integral duplaR2f(x,y),dx,dy =integral duplaR1f(v,u),du,dv =integral duplaR1raiz[3]v^2-u^2,du,dv
Mas raiz[3]v^2-u^2=-raiz[3]u^2-v^2=-f(u,v).

Passo 4

Portanto
integral duplaR2f(x,y),dx,dy =-integral duplaR1f(u,v),du,dv
e somando com a parte em R1 obtemos
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integral duplaR1f+integral duplaR2f =I - I = 0

Resposta

0

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