Para cada item, calcule o valor da integral.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
em que
. O conteúdo aqui é uso de simetria em integrais duplas e mudança de variáveis para mostrar cancelamento de áreas.
Passo 2
Definimos
e observamos que em
a reta
divide o quadrado em duas partes:
enquanto a diagonal
tem medida zero, logo não contribui na integral.
Passo 3
Escrevemos
Em
fazemos a troca de variáveis
. Como a Jacobiana vale
e o domínio de
cai em
, temos
Mas
.
Passo 4
Portanto
e somando com a parte em
obtemos