O tatu Ado precisa cavar um túnel no formato de arco seguindo a função:
f(x)=25-x^2
Se -5 <= x <= 5 e f(x) representa a altura do túnel em centímetros, calcule a área da seção transversal do túnel.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre cálculo de área da seção transversal de um túnel que tem a forma de um arco, representado pela função f(x) = 25 - x^2 . Precisamos encontrar a área dessa seção no intervalo de -5 <= x <= 5 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, entendemos que f(x) = 25 - x^2 descreve a altura do túnel em cada ponto x . Para achar a área da seção transversal, vamos calcular a integral dessa função entre x = -5 e x = 5 .

Passo 3

A integral representa a área sob a curva da função. Então, configuramos a integral assim:
Área = integral-5^5 (25 - x^2) , dx Á

Passo 4

Vamos resolver a integral. Integramos cada termo separadamente:
integral (25 - x^2) , dx = 25x - x^33 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -5 a 5 :
Área = [25x - x^33]-5^5 Á

Passo 6

Calculamos para x = 5 :
25(5) - 5^33 = 125 - 1253 = 3753 - 1253 = 2503

Passo 7

Calculamos para x = -5 :
25(-5) - (-5)^33 = -125 - -1253 = -125 + 1253 = -3753 + 1253 = -2503

Passo 8

Subtraímos os valores obtidos nos limites:
Área = 2503 - (-2503) = 2503 + 2503 = 5003 Á

Resposta

A área da seção transversal do túnel é 5003 centímetros quadrados.

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